Question

已知函数f（x）=|log₂x-1|+log₂（x-1），x∈（1，4]．
（1）求函数f（x）的一个零点；
（2）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先对已知函数化简，然后令f（x）=0可求函数的零点
（2）由（1）的化简，求出每段函数的值域，然后根据分段函数的值域即可求解函数f（x）的值域

解答：解：（1）∵f（x）=|log₂x-1|+log₂（x-1），x∈（1，4]．
=

log2(x-1)x-1，x∈(2，4] log2 x-1 x +1，x∈(1，2]

令f（x）=0可得log₂x（x-1）-1=0或log2

x-1

x

+1=0
整理可得，x²-x-2=0或

x-1

x

=

1

2

解可得，x=2
（2）f（x）=

log2(x-1)x-1，x∈(2，4] log2 x-1 x +1，x∈(1，2]

当x∈（2，4]时，x²-x∈（2，12]，f（x）∈（0，log₂6]
当x∈（1，2]时，

x-1

x

∈(0，

1

2

]，f（x）∈（-∞，0]
故函数f（x）的值域为（-∞，log₂6]

点评：本题主要考查了函数的零点的求解及函数值域的求解，解题的关键是对已知函数解析式的化简