Question

（2006•东城区二模）在△ABC中，a，b，c是角A、B、C所对的边，且sinBcosC=2sinAcosB-cosBsinC．
（1）求cosB的值；
（2）若b=3，求ac的最大值．

Answer 1

分析：（1）已知等式移项后利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosB的值即可；
（2）利用余弦定理列出关系式，将b及cosB的值代入，利用基本不等式变形求出ac的最大值即可．

解答：解：（1）由已知得sin（B+C）=2sinAcosB，
∵A+B+C=180°，∴sin（B+C）=sinA，
∴sinA=2sinAcosB，
又∵sinA≠0，
∴cosB=

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2

；
（2）由余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB，即9=a²+c²-2ac×

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2

，
∴ac+9=a²+c²≥2ac，即ac≤9，当且仅当a=c=3时取等号，
则ac的最大值为9．

点评：此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．