Question

（2013•德州一模）已知锐角α，β满足3tanα=tan（α+β），则tanβ的最大值为

3

3

．

Answer 1

分析：由条件利用两角和的正切公式化简可得tanβ=

2tanα

1+3tan2α

=

2

1 tanα +3tanα

，再利用基本不等式求得它的最大值．

解答：解：∵已知锐角A，B满足tan（α+β）=3tanA，∴tanα＞0，tanβ＞0，
且

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=3tanα，化简可得 tanβ=

2tanα

1+3tan2α

=

2

1 tanα +3tanα

≤

2

2 3

=

3

3

当且仅当

1

tanα

=3tanα 时，取等号，故tanβ的最大值为

3

3

．
故答案为：

3

3

点评：本题主要考查两角和的正切公式的应用，利用基本不等式求式子的最大值，属于中档题．