Question

已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间
（2）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为-2，求a的取值范围；
（3）若对于任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂且f（x₁）+2x₁＜f（x₂）+2x₂恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求函数的定义域，然后对函数求导，分别令f′（x）＞0f′（x）＜0可求函数的单调增区间，单调减区间．
（2）利用导数求出f（x）在区间[1，e]上的最小值，建立关于a的关系式．注意进行分类讨论．
（3）设g（x）=f（x）+2x，则g（x）=ax²-ax+lnx，只要g（x）在（0，+∞）上单调递增即可．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x²-3x+lnx，定义域为（0，+∞）f′(x)=2x-3+

1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

…（2分）
令f′（x）＞0得0＜x＜

1

2

或x＞1；令f′（x）＜0得

1

2

＜x＜1；
所以y=f(x)的增区间为(0，

1

2

)和(1，+∞)，减区间为(

1

2

，1)．…（4分）
（2）函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx的定义域是（0，+∞）．…（5分）
当a＞0时，f′(x)=2ax-(a+2)+

1

x

=

2ax2-(a+2)x-1

x

(x＞0)
令f'（x）=0，即f′(x)=

2ax2-(a+2)x+1

x

=

(2x-1)(ax-1)

x

=0，
所以x=

1

2

或x=

1

a

…（6分）
①当0＜

1

a

≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=-2，符合题意；
②当1＜

1

a

＜e时，即

1

e

＜a＜1时，f（x）在[1，e]上的最小值是f(

1

a

)＜f(1)=-2，不合题意；
③当

1

a

≥e时，即0＜a≤

1

e

时，f（x）在[1，e]上单调递减，所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=-2，不合题意．
综上可知，f（x）的取值范围为[1，+∞）．…（8分）
（3）设g（x）=f（x）+2x，则g（x）=ax²-ax+lnx，
只要g（x）在（0，+∞）上单调递增即可．…（9分）
而g′(x)=2ax-a+

1

x

=

2ax2-ax+1

x

当a=0时，g′(x)=

1

x

＞0，此时g（x）在（0，+∞）上单调递增； …（10分）
当a≠0时，只需g'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，因为x∈（0，+∞），只要2ax²-ax+1≥0，
则需要a＞0，…（11分）
对于函数y=2ax²-ax+1，过定点（0，1），对称轴x=

1

4

＞0，只需△=a²-8a≤0，
即0＜a≤8．综上0≤a≤8．…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，求函数的单调性，函数的最值，恒成立问题成立的条件．．