Question

（本小题满分12分）

已知，其中是无理数，且， ．

（1）若时， 求的单调区间、极值；

（2）求证：在（1）的条件下，；

（3）是否存在实数，使的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）当_时， ， 

∴当时，，此时单调递减 ，当时，，此时单调递增 

 的的单调递减区间为（0，1）；单调递增区间为（1，e）；的极小值为．

（2）_{由（1）知}在上的最小值为1， 

令 ，   ，

当时，，在上单调递增 

∴  ∴在（1）的条件下，  

（3）假设存在实数，使（）有最小值，   

当时，， 在上单调递增，此时无最小值．

当时，

若，故在上单调递减，

若，故在上单调递增．

，得，满足条件．

当时，

，在上单调递减，

（舍去），所以，此时无最小值．

综上，存在实数，使得当时的最小值是．

（3）法二：假设存在实数，使的最小值是，

故原问题等价于：不等式对 恒成立，求“等号”取得时实数A的值．

即不等式对 恒成立，求“等号”取得时实数A的值．

设  _即  ，   

又   

令

当，，则在单调递增；

当，，则在单调递减 ，

故当时，取得最大值，其值是

故 ．

综上，存在实数，使得当时的最小值是．