Question

已知函数f(x)=-x³+3x²-2x.(1)过点(0,-1)作曲线y=f(x)的切线,求切线方程;

(2)若m＞1,且过点(m,n)只能作出曲线y=f(x)的一条切线.求证:n＞m-1或n＜f(m).

Answer 1

解:(1)曲线y=f(x)在(a,f(a))处的切线方程为y=f′(a)(x-a)+f(a),

即y=(-3a²+6a-2)(x-a)-a³+3a²-2a,

∵(0,-1)在切线上,

∴2a³-3a²+1=0,解得a=1或a=.

∴过点(0,-1)作曲线y=f(x)的切线方程为y=x-1和y=x-1.

(2)∵(a,f(a))处的切线y=(-3a²+6a-2)(x-a)-a³+3a²-2a过(m,n)点,

代入化简,可得2a³-(3m+3)a²+6ma-2m-n=0,

构造三次函数g(a)=2a³-(3m+3)a²+6ma-2m-n,

∴g′(a)=6a²-6(m+1)a+6m=6(a-1)(a-m).

∵m＞1,∴g(a),g′(a)变化情况如下表:

a	(-∞,1)	1	(1,m)	m	(m,+∞)
g′(a)	+	0	-	0	+
g(a)	增函数	极大值m-n-1	减函数	极小值-m3+3m2-2m-n	增函数

∵过点(m,n)只能作出曲线y=f(x)的一条切线,

∴g(a)=0只有一个根,要使g(a)=0只有一个根,由g(a)单调性以及在R上的三次函数值域为R,只需要g(a)的极大值m-n-1＜0,即n＞m-1,或者g(a)的极小值-m³+3m²-2m-n＞0,即n＜f(m).