Question

在△ABC中，a、b是方程x2-2

3

x+2=0的两根，且2cos （A+B）=1．
（Ⅰ）求c边的大小；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用2cos （A+B）=1，求出cosC，通过方程的根利用韦达定理推出a、b的关系，结合余弦定理即可求c边的大小；
（Ⅱ）利用三角形的内角求出sinC的值，结合ab=2即可求△ABC的面积．

解答：（本小题满分12分）
解：（I）∵2cos（A+B）=1，∴cosC=-

1

2

．
∵a、b是方程x²-2

3

x+2=0的两根，
∴a+b=2

3

，ab=2，
∵c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-2ab（cosC+1）=12-2=10．
∴c=

10

．--------（6分）
（II）∵cosC=-

1

2

，C是△ABC内角，∴sinC=

1-cos2C

=

3

2

，
由（Ⅰ）可知，ab=2，
∴S=

1

2

absinC=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

．--------（12分）．

点评：本题考查余弦定理的应用，三角形面积的求法，考查转化思想以及计算能力．