Question

8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，4a_na_n-1+S_n=S_n-1+a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）证明：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列；
（2）若$\frac{{a}_{n}}{λ}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$$≥\frac{1}{λ}$对任意整数n（n≥2）恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由a_n=S_n-S_n-1，可得$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=4（n≥2），由等差数列的定义即可得证；
（2）运用等差数列的通项公式，可得a_n=$\frac{1}{4n-3}$，由参数分离可得$\frac{1}{λ}$≤$\frac{（4n-3）（4n+1）}{4n-4}$（n≥2），判断右边数列的单调性，可得最小值，进而得到实数λ的取值范围．

解答 解：（1）证明：4a_na_n-1+S_n=S_n-1+a_n-1（n≥2，n∈N^*），
可得4a_na_n-1+a_n-a_n-1=0，
即有$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=4（n≥2），
则数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是1为首项，4为公差的等差数列；
（2）由（1）可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+4（n-1）=4n-3，
即有a_n=$\frac{1}{4n-3}$，
由$\frac{{a}_{n}}{λ}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$$≥\frac{1}{λ}$可得$\frac{1}{λ}$•$\frac{4n-4}{4n-3}$≤4n+1，
即$\frac{1}{λ}$≤$\frac{（4n-3）（4n+1）}{4n-4}$（n≥2），
令c_n=$\frac{（4n-3）（4n+1）}{4n-4}$（n≥2），
则c_n+1-c_n=$\frac{（4n+1）（4n-5）}{4n（n-1）}$＞0，
即有数列{c_n}为递增数列，
当n=2时，取得最小值，且为$\frac{45}{4}$，
可得$\frac{1}{λ}$≤$\frac{45}{4}$，解得λ＜0或λ≥$\frac{4}{45}$．
即实数λ的取值范围为（-∞，0）∪[$\frac{4}{45}$，+∞）．

点评 本题考查数列的通项和求和的关系，考查等差数列的通项公式的运用，考查数列不等式恒成立问题的解法，注意运用数列的单调性，属于中档题．