Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a1=-

2

3

，满足Sn+

1

Sn

+2=an(n≥2)，计算S₁，S₂，S₃，S₄，并猜想S_n的表达式．

Answer 1

分析：由题设可得 S_n-1S_n+2S_n+1=0，求得S₁，S₂，S₃ 的值，猜测S_n =-

n+1

n+2

，n∈N₊；用数学归纳法证明，检验n=1时，猜想成立；假设S_K=-

K+1

K+2

，则当n=k+1时，由条件可得，SK+1+

1

SK+1

=SK+1-SK-2，解出 S_K+1=-

K+2

K+3

，故n=k+1时，猜想仍然成立．

解答：解：由题设得S_n²+2S_n+1-a_nS_n=0，当n≥2（n∈N^*）时，a_n=S_n-S_n-1，
代入上式，得S_n-1S_n+2S_n+1=0．（*）
S₁=a₁=-

2

3

，
∵S_n+

1

Sn

=a_n-2（n≥2，n∈N），令n=2可得
，S₂+

1

S2

=a₂-2=S₂-a₁-2，
∴

1

S2

=

2

3

-2，
∴S₂=-

3

4

．
同理可求得 S₃=-

4

5

，S₄=-

5

6

．
猜想S_n =-

n+1

n+2

，n∈N₊，下边用数学归纳法证明：
①当n=1时，S₁=a₁=-

2

3

，猜想成立．
②假设当n=k时猜想成立，即S_K=-

K+1

K+2

，则当n=k+1时，∵S_n+

1

Sn

=a_n-2，∴SK+1+

1

SK+1

=ak+1-2，
∴SK+1+

1

SK+1

=SK+1-SK-2，∴

1

SK+1

=

K+1

K+2

-2=

-K-3

K+2

，
∴S_K+1=-

K+2

K+3

，∴当n=k+1时，猜想仍然成立．
综合①②可得，猜想对任意正整数都成立，即 S_n =-

n+1

n+2

，n∈N₊成立．

点评：本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，证明当n=k+1时，S_n =-

n+1

n+2

，n∈N₊，是解题的难点．