Question

四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PB⊥BC,PD⊥CD,且PA=2,E点满足PE=.

(1)求证:PA⊥平面ABCD.

(2)求二面角E-AC-D的大小;

(3)在线段BC上是否存在点F使得PF∥面EAC?若存在,确定F的位置;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解法一：（1）证明：在正方形ABCD中,AB⊥BC,

又∵PB⊥BC,∴BC⊥面PAB.∴BC⊥PA.

同理CD⊥PA,又CD∩BC=C,∴PA⊥面ABCD.

(2)在AD上取一点O使AO=AD,连结E、O,

则EO∥PA,∴EO⊥面ABCD.过点O作OH⊥AC交AC于H点,连结EH,则EH⊥AC,

从而∠EHO为二面角E-AC-D的平面角.

在△PAD中,EO=AP=.在Rt△AHO中∠HAO=45°,∴HO=AOsin45°=·=.

∴tan∠EHO=.

∴二面角E-AC-D等于arctan2.

(3)当F为BC中点时,PF∥面EAC,

理由如下:∵AD∥FC,

∴.

又由已知有=,∴PF∥ES.

∵PF面EAC,ES面EAC,∴PF∥面EAC,即当F为BC中点时,PF∥面EAC.

解法二 ：(1)同解法一.4分(2)分别以AB、AD、AP所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),E(0,,),

P(0,0,2)平面ACD的法向量为n₁=(0,0,1),

设平面EAC的法向量为n₂=(x,y,z),

则∴∴取z=1,得n₂=（2，-2，1）.

∴cos〈n₁，n₂〉==.

∴二面角EACD等于arccos.

(3)设F(2,y,0)(0≤y≤2),由PF∥面EAC得·n₂=0,即（2,y,-2）·(2,-2,1)=4-2y-2=0,解得y=1,

∴F(2,1,0),即当点F为BC中点时,能使PF∥面EAC.