题目内容
设x，y满足约束条件
，若目标函数z=4ax+3by，（a＞0，b＞0）的最大值为12，则
+
的最小值为
|
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
4
4
．分析：由已知利用线性规划可得a+b=1，而
+
=（a+b）（
+
）展开后利用基本不等式即可求解
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
解答：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
由直线4ax+3by=z（a＞0，b＞0）可得y=-
x+
，则
表示直线在y轴截距，截距越大z越大
由a＞0，b＞0可得-
＜0
∴直线4ax+3by=Z过点B时，目标函数有最大值
由
可得B（3，4）
此时目标函数z=4ax+3by（a＞0，b＞0）取得最大12，
即12a+12b=12，即a+b=1而
+
=（
+
）（a+b）=2+
+
≥4
当且仅当
=
即a=b=
时取等号
∴
+
的最小值4
故答案为：4
由直线4ax+3by=z（a＞0，b＞0）可得y=-
| 4a |
| 3b |
| z |
| 3b |
| z |
| 3b |
由a＞0，b＞0可得-
| 4a |
| 3b |
∴直线4ax+3by=Z过点B时，目标函数有最大值
由
|
此时目标函数z=4ax+3by（a＞0，b＞0）取得最大12，
即12a+12b=12，即a+b=1而
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
当且仅当
| b |
| a |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
∴
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
故答案为：4
点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．
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