Question

如图，矩形ABCD内接于由函数y=

x

，y=1-x，y=0图象围成的封闭图形，其中顶点C，D在y=0上，求矩形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析：由图，设A点坐标为(x，

x

)，x∈(0，

3- 5

2

)，则B(1-

x

，

x

)，由图可得1-

x

＞x，记矩形ABCD的面积为S，易得S的表达式，利用换元法得到函数S=-t³-t²+t下面利用导数工具研究其最值，从而得出矩形ABCD面积的最大值．

解答：解：由图，设A点坐标为(x，

x

)，x∈(0，

3- 5

2

)，则B(1-

x

，

x

)，由图可得1-

x

＞x，记矩形ABCD的面积为S，易得S=AB•AD=(1-

x

-x)

x

=-(

x

)3-(

x

)2+

x

令t=

x

，t∈(0，

5 -1

2

)，得S=-t³-t²+t
所以S′=-3t²-2t+1=-（3t-1）（t+1），令S'=0，得t=

1

3

或t=-1，
因为t∈(0，

5 -1

2

)，所以t=

1

3

．S'，S随t的变化情况如下表：

t	(0， 1 3 )	1 3	( 1 3 ， 5 -1 2 )
S'	+	0	-
S	↗	极大值 5 27	↘

由上表可知，当t=

1

3

，即x=

1

9

时，S取得最大值为

5

27

，所以矩形ABCD面积的最大值为

5

27

．

点评：本题考查了函数模型的选择与应用，主要是帮助学生经历根据问题的条件和要求建立函数的解析式及确定定义域再研究函数的变化状态的思维过程．