Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，其左、右焦点分别为F₁，F₂，点P（x₀，y₀）是坐标平面内一点，且|OP|=

7

2

，

PF1

•

PF2

=

3

4

（O为坐标原点）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S(0，-

1

3

)且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）设P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0），
则由|OP|=

7

2

得

x

20

+

y

20

=

7

4

；
由

PF1

•

PF2

=

3

4

得(-c-x0，-y0)•(c-x0，-y0)=

3

4

，
即

x

20

+

y

20

-c2=

3

4

．
所以c=1
又因为

c

a

=

2

2

，所以a2=2，b2=1．
因此所求椭圆的方程为：

x2

2

+y2=1．
（2）动直线l的方程为：y=kx-

1

3

，
由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

得(2k2+1)x2-

4

3

kx-

16

9

=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则x1+x2=

4k

3(2k2+1)

，x1x2=-

16

9(2k2+1)

．
假设在y轴上存在定点M（0，m），满足题设，则

MA

=(x1，y1-m)，

MB

=(x2，y2-m)．

MA

•

MB

=x1x2+(y1-m)(y2-m)=x1x2+y1y2-m(y1+y2)+m2
=x1x2+(kx1-

1

3

)(kx2-

1

3

)-m(kx1-

1

3

+kx2-

1

3

)+m2
=(k2+1)x1x2-k(

1

3

+m)(x1+x2)+m2+

2

3

m+

1

9

=-

16(k2+1)

9(2k2+1)

-k(

1

3

+m)

4k

3(2k2+1)

+m2+

2

3

m+

1

9

=

18(m2-1)k2+(9m2+6m-15)

9(2k2+1)

由假设得对于任意的k∈R•

MA

•

MB

=0恒成立，
即

m2-1=0 9m2+6m-15=0

解得m=1．
因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，
点M的坐标为（0，1）