题目内容
已知函数f（x）定义域为{x∈R|x≠0），对于定义域内任意x、y 都有f（x）+f（y）=f（xy），且x＞1时，f（x）＞0，则（ ）
| A、f（x）在（-∞，0）上递减，在（ 0，+∞）上递增 | B、f（x）在（-∞，0）上递增，在（ 0，+∞）上递减 | C、f（x）在（-∞，0）上递增，在（ 0，+∞）上递增 | D、f（x）在（-∞，0）上递减，在（ 0，+∞）上递减 |
分析：令x=y=1⇒f（1）=0；分0＜x1＜x2与若x1＜x2＜0讨论，利用函数单调性的定义判断即可．
解答：解：令x=y=1，则f（1）=2f（1），
∴f（1）=0；
若0＜x1＜x2，则
＞1，
由题意，f（
）＞0，
又定义域内任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（xy）-f（y）=f（x），
∴f（x2）-f（x1）=f（
）＞0，
∴f（x2）＞f（x1），
∴函数f（x）在（0，+∞）内为增函数；
若x1＜x2＜0，则-x1＞-x2＞0，
∴
=
＞1，
∴同理得f（x1）-f（x2）=f（
）＞0，
∴f（x1）＞f（x2），
∴函数f（x）在（-∞，0）内为减函数；
故选：A．
∴f（1）=0；
若0＜x1＜x2，则
| x2 |
| x1 |
由题意，f（
| x2 |
| x1 |
又定义域内任意x、y恒有f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（xy）-f（y）=f（x），
∴f（x2）-f（x1）=f（
| x2 |
| x1 |
∴f（x2）＞f（x1），
∴函数f（x）在（0，+∞）内为增函数；
若x1＜x2＜0，则-x1＞-x2＞0，
∴
| -x1 |
| -x2 |
| x1 |
| x2 |
∴同理得f（x1）-f（x2）=f（
| x1 |
| x2 |
∴f（x1）＞f（x2），
∴函数f（x）在（-∞，0）内为减函数；
故选：A．
点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数单调性的判断与证明，属于中档题．
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