Question

（本小题满分14分）

执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为，，…，，，．（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“：”）

（1）若输入，写出输出结果；

（2）若输入，求数列的通项公式；

（3）若输入，令，求常数（），使得是等比数列．

 

Answer 1

（本小题满分14分）

解 （1）输出结果是：0，，．……3分

（2）（法一）由程序框图可知，

，，，．

所以，当时，

，    …………………5分

，

而中的任意一项均不为1，

（否则的话，由可以得到，

…，与矛盾），

所以，，

（常数），，．

故是首项为，公差为的等差数列，     ……………………………7分

所以，，数列的通项公式为，，．…8分

（法二）当时，由程序框图可知，，，，，……

猜想，，．       …………………………………………5分

以下用数学归纳法证明：

①当时，，猜想正确；

②假设（，）时，猜想正确．即，………………7分

那么，当时，

由程序框图可知，．即时，猜想也正确．

由①②，根据数学归纳法原理，猜想正确，，． ……8分

（3）（法一）当时，

，

令，则，，．  …………10分

此时，，             ………………………………12分

所以，，，又，

故存在常数（），

使得是以为首项，为公比的等比数列．          ……………………………14分

（法二）当时，令，即，解得，…10分

因为，，．

所以，     ①

，② 12分

①÷②，得，

即，，，又，

故存在常数（）

使得是以为首项，为公比的等比数列．          ……………………………14分