Question

已知sin（x+

π

4

）sin（

π

4

-x）=

1

6

，x∈（

π

2

，π），求sin4x的值．

Answer 1

分析：根据两角和与差的正弦公式，结合已知等式解出sin²x=

2

3

，cos²x=

1

3

．由x∈（

π

2

，π），解出sinx=

6

3

且cosx=-

3

3

，再利用二倍角的正余弦公式即可解出sin4x的值．

解答：解：∵sin（x+

π

4

）=sinxcos

π

4

+cosxsin

π

4

=

2

2

（sinx+cosx）
sin（x-

π

4

）=sinxcos

π

4

-cosxsin

π

4

=

2

2

（sinx-cosx）
∴sin（x+

π

4

）sin（

π

4

-x）=

1

2

（sin²x-cos²x）=

1

6

，可得sin²x-cos²x=

1

3

结合sin²x+cos²x=1解得sin²x=

2

3

，cos²x=

1

3

∵x∈（

π

2

，π），∴sinx=

6

3

，cosx=-

3

3

由此可得sin2x=2sinxcosx=-

2 2

3

，cos2x=cos²x-sin²x=

1

3

∴sin4x=2sin2xcos2x=2×（-

2 2

3

）×

1

3

=-

4 2

9

点评：本题给出三角函数等式，求sin4x的值．着重考查了两角和与差的正弦公式和二倍角的三角函数公式等知识，属于中档题．