Question

【题目】现有一块大型的广告宣传版面，其形状是右图所示的直角梯形.某厂家因产品宣传的需要，拟投资规划出一块区域（图中阴影部分）为产品做广告，形状为直角梯形（点在曲线段上，点在线段上）.已知， ，其中曲线段是以为顶点， 为对称轴的抛物线的一部分.

(1)建立适当的平面直角坐标系，分别求出曲线段与线段的方程；

(2)求该厂家广告区域的最大面积.

Answer 1

【答案】(1)直角坐标系见解析; 曲线段的方程为： ；

线段的方程为： .

(2) .

【解析】试题分析：（1）以AB为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（6，0），C（6，-12），D（0，-6）．设曲线AC的方程x2=-2py，（p＞0，0≤x≤6）．代入C坐标即可求得p，即可求出曲线段的方程，由DC两点坐标即可求出线段的方程；

（2）设出F点横坐标a，将厂家广告区域的面积表示为a的函数，求出函数的最大值即可．

试题解析：（1）以直线为轴，直线为轴建立平面直角坐标系（如图所示）.

则， ， ， ，

曲线段的方程为： ；

线段的方程为： ；

（2）设点，则需，即,

则， ， .

∴， ， ，

则厂家广告区域的面积

，

∴，

令，得， .

∴在上是增函数，在上是减函数.

∴.

∴厂家广告区域的面积最大值是.

点睛:本题利用已知函数模型解决实际问题，关键是合理建系设出点坐标即可表示出面积的表达式，利用导数研究单调性即可求出最值.