Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，1），P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足k_OP+k_OA=k_PA．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P使得△PQA和△PAM的面积满足S_△PQA=2S_△PAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设点P（x，y）为所求轨迹上的任意一点，则由k_OP+k_OA=k_PA得，，从而就可以得到轨迹C的方程；
（Ⅱ）方法一、设，由可知直线PQ∥OA，则k_PQ=k_OA，
可得x₂+x₁=-1，由O、M、P三点共线可知，与共线，从而可得，
这样，我们可以求出M的横坐标，由S_△PQA=2S_△PAM，得到QA=2AM，因为PQ∥OA，所以OP=2OM，从而可求P的坐标；
方法二、设，确定直线OP方程、直线QA方程，我们可以得出点M的横坐标为定值，由S_△PQA=2S_△PAM，得到QA=2AM，因为PQ∥OA，所以OP=2OM，从而可求P的坐标．
解答：解：（Ⅰ）设点P（x，y）为所求轨迹上的任意一点，则由k_OP+k_OA=k_PA得，，
整理得轨迹C的方程为y=x²（x≠0且x≠-1）．（4分）
（Ⅱ）方法一、
设，
由可知直线PQ∥OA，则k_PQ=k_OA，
故，即x₂+x₁=-1，（6分）
由O、M、P三点共线可知，与共线，
∴，
由（Ⅰ）知x₁≠0，故y=xx₁，（8分）
同理，由与共线，
∴，
即（x₂+1）[（x+1）（x₂-1）-（y-1）]=0，
由（Ⅰ）知x₁≠-1，故（x+1）（x₂-1）-（y-1）=0，（10分）
将y=xx₁，x₂=-1-x₁代入上式得（x+1）（-2-x₁）-（xx₁-1）=0，
整理得-2x（x₁+1）=x₁+1，
由x≠-1得，（12分）
由S_△PQA=2S_△PAM，得到QA=2AM，因为PQ∥OA，所以OP=2OM，
由，得x₁=1，∴P的坐标为（1，1）． （14分）
方法二、设，
由可知直线PQ∥OA，则k_PQ=k_OA，
故，即x₂=-x₁-1，（6分）
∴直线OP方程为：y=x₁x①；（8分）
直线QA的斜率为：，
∴直线QA方程为：y-1=（-x₁-2）（x+1），即y=-（x₁+2）x-x₁-1②；（10分）
联立①②，得，∴点M的横坐标为定值．（12分）
由S_△PQA=2S_△PAM，得到QA=2AM，因为PQ∥OA，所以OP=2OM，
由，得x₁=1，∴P的坐标为（1，1）．（14分）
点评：考查向量知识在几何中的运用，实际上就是用坐标表示向量，再进行运算；（Ⅱ）的关键是确定出点M的横坐标为定值．