题目内容

函数f（x）=ax2+（a-3）x+1在区间[-1，+∞）上是递减的，则实数a的取值范围是（　　）
分析：由于函数解析式的二次项系数a不确定，故分a=0，a＞0和a＜0三种情况进行研究，结合一次函数和二次函数的性质进行分析，最后综合讨论结果，即可求得实数a的取值范围．
解答：解：∵函数f（x）=ax2+（a-3）x+1在区间[-1，+∞）上是递减的，
①当a=0时，f（x）=-3x+1，
∵-3＜0，
∴f（x）在R上单调递减，符合题意；
②当a＞0时，函数f（x）=ax2+（a-3）x+1为二次函数，
∵二次函数在对称轴右侧单调递增，
∴不可能在区间[-1，+∞）上递减，
故不符合题意；
③当a＜0时，函数f（x）=ax2+（a-3）x+1为二次函数，对称轴为x=-
a-3
2a
，
∵二次函数在对称轴右侧单调递减，且f（x）=ax2+（a-3）x+1在区间[-1，+∞）上是递减的，
∴-
a-3
2a
≤-1，解得-3≤a＜0，
∴实数a的取值范围是-3≤a＜0．
综合①②③，可得实数a的取值范围是[-3，0]．
故选D．
点评：本题考查了二次函数的性质，二次函数的单调性与它的开口方向、对称轴有关．对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑．属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b是常数，且a≠0），f（2）=0，且方程f（x）=x有两个相等的实数根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的值域．
设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在x=1处的切线垂直于y轴．
（Ⅰ）用a分别表示b和c；
（Ⅱ）当bc取得最大值时，写出y=f（x）的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，g（x）满足
43
f(x)-6=（x-2）g（x）（x＞2），求g（x）的最大值及相应x值．
已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．
（Ⅰ）当a=
1
4
时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）求证：(1+
2
2×3
)×(1+
4
3×5
)×(1+
8
5×9
)…(1+
2n
(2n-1+1)(2n+1)
)＜e（其中，n∈N*，e是自然对数的底数）
已知实数a，b，c（a≠0）满足
a
m+2
+
b
m+1
+
c
m
=0(m＞0)，对于函数f（x）=ax2+bx+c，af(
m
m+1
)与0的大小关系是（　　）
已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，F(x)=
f(x)(x＞0)
-f(x)(x＜0)

（1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设m•n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零．

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