Question

如图所示棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC=，且PD是四棱锥的高．

(1)在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径；

(2)求四棱锥外接球的半径．

Answer 1

【探究】 (1)当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大，即球心到各个面的距离均相等，联想到用体积法求解．(2)四棱锥的外接球的球心到P、A、B、C、D五点的距离均为半径，只要找出球心的位置即可．在Rt△PDB中，斜边PB的中点为F，则PF=FB=FD，只要证明FA=FC=FP即可．

解：(1)设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连结SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R．

V_P—ABCD=·S_ABCD·PD=·a·a·a=a³，

S_△PAD=S_△PDC=·a·a=a²，

S_△PAB=S_△PBC=·a·=，

=a²．

V_P—ABCD=V_S—PDA+V_S—PDC+V_S—ABCD+V_S—PAB+V_S—PBC,

R(S_△PAD+S_△PDC+S_△PAB+S_△PBC+S_ABCD),

所以，

,

即球的最大半径为．

(2)设PB的中点为F．

因为在Rt△PDB中，FP=FB=FD，

在Rt△PAB中，FA=FP=FB，

在Rt△PBC中，FP=FB=FC，

所以FP=FB=FA=FC=FD．

所以F为四棱锥外接球的球心，

则FP为外接球的半径．

因为FB=PB，所以FB=.

所以四棱锥外接球的半径为．

【规律总结】 (1)“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间的关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，例如本例中球内切于四棱锥时，球与四棱锥的五个面相切，即球心到五个面的距离相等．

(2)求体积或运用体积解决问题时，经常使用等积变换，即把一个几何体割补成其他几个几何体的和或差．