Question

（2012•泰安二模）已知等差数列{a_n}的公差d≠0，它的前n项和为S_n，若S₅=35，且a₂，a₇，a₂₂成等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设数列{

1

Sn

}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（I）设数列的首项为a₁，利用S₅=35，且a₂，a₇，a₂₂成等比数列，等差数列{a_n}的公差d≠0，求得数列的首项与公差，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（II）先求出S_n，再用裂项法，可求数列{

1

Sn

}的前n项和．

解答：解：（I）设数列的首项为a₁，则
∵S₅=35，且a₂，a₇，a₂₂成等比数列
∴

5a1+10d=35 (a1+6d)2=(a1+d)(a1+21d)

∵d≠0，∴d=2，a₁=3
∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1；
（II）S_n=

n(3+2n+1)

2

=n(n+2)
∴

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
∴T_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

点评：本题考查等差数列的通项，考查数列的求和，正确求通项，利用裂项法求数列的和数关键．