Question

【题目】已知函数，有以下命题：

①是奇函数；

②单调递增函数；

③方程仅有1个实数根；

④如果对任意有，则的最大值为2.

则上述命题正确的有_____________.（写出所有正确命题的编号）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

根据题意，依次分析4个命题，对于①、由奇函数的定义分析可得①正确；对于②、对函数求导，分析可得，分析可得②正确；对于③、，分析可得，即方程有一根，进而利用二分法分析可得有一根在之间，即方程至少有2跟，故③错误，对于④、由函数的恒成立问题的分析方法，分析可得④正确，综合可得答案．

解：根据题意，依次分析4个命题：

对于①、，定义域是，且，是奇函数；故①正确；

对于②、若，则，故在递增；故②正确；

对于③、，令，

令可得，，即方程有一根，

，，

则方程有一根在之间，

故③错误；

对于④、如果对任意，都有，即恒成立，

令，且，

若恒成立，则必有恒成立，

若，即恒成立，

而，若有，

故④正确；

综合可得：①②④正确；

故答案为：①②④．