Question

不等式-2≤x²+ax+b≤1（a≠0）的解集中恰有一个元素，则b+

1

a2

的最小值为

2

．

Answer 1

分析：由不等式-2≤x²+ax+b≤1（a≠0）的解集中恰有一个元素，画图分析a、b所满足的条件，把b代入b+

1

a2

后借助于基本不等式求最值．

解答：解：由-2≤x²+ax+b≤1，得：

x2+ax+b+2≥0 x2+ax+b-1≤0

，
不等式-2≤x²+ax+b≤1（a≠0）的解集中恰有一个元素，
由不等式对应的二次函数图象，

可知，

a2-4(b+2)≤0 a2-4(b-1)=0

即b=

a2

4

+1，
则b+

1

a2

=

a2

4

+1+

1

a2

≥2

a2 4 • 1 a2

+1=2．
故答案为2．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了二次函数的性质，考察了数形结合思想和数学转化思想，解答此题的关键是由不等式-2≤x²+ax+b≤1（a≠0）的解集中恰有一个元素得到a和b的关系，此题是中档题．