Question

已知函数f(x)=

2x-1

2x+1

（I）求f（log₂3）的值
（II）证明f（x）的是奇函数；
（III）求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）由函数f(x)=

2x-1

2x+1

，知f（log₂3）=

2log23-1

2log23+1

，由此利用对数的恒等式alogaN=N，能求出结果．
（II）由f(x)=

2x-1

2x+1

，知f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=-

2x-1

2x+1

=-f（x），由此能证明f（x）为R上的奇函数．
（III）由f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，利用2^x＞0，得0＜

1

2x+1

＜1，由此能求出f（x）的值域．

解答：解：（I）∵函数f(x)=

2x-1

2x+1

，
∴f（log₂3）=

2log23-1

2log23+1

=

3-1

3+1

=

1

2

．
（II）∵f(x)=

2x-1

2x+1

，
∴f（x）的定义域为R，
∵f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f（x），
∴f（x）为R上的奇函数．
（III）f(x)=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵2^x＞0，
∴2^x+1＞1，
∴0＜

1

2x+1

＜1，
∴0＜

2

2x+1

＜2，
∴-2＜-

2

2x+1

＜0，
∴-1＜1-

2

2x+1

＜1，
∴f（x）的值域是（-1，1）．

点评：本题考查对数恒等式alogaN=N的应用和对数奇偶性的证明，求对数函数值域的方法，是基础题．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．