Question

已知函数f（x）=

ax-1

ax+1

(a＞1)．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求该函数的值域；
（3）证明f（x）是R上的增函数．

Answer 1

分析：（1）用函数的奇偶性定义判断，先求函数的定义域，看是否关于原点对称，若定义域关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）是相等还是相反即可
（2）可运用分离常数的办法求此函数的值域，将函数f（x）=

ax-1

ax+1

(a＞1)等价转化为f（x）=1-

2

ax+1

，再由复合函数值域的求法即换元法，求此函数值域即可
（3）先求函数的导函数，再证明导函数恒大于零，即可证明f（x）是R上的增函数，也可用单调性定义证明

解答：解：（1）函数的定义域为R，
f（-x）+f（x）=

a-x-1

a-x+1

+

ax-1

ax+1

=

(ax-1)(a-x+1)+(a-x-1)(ax+1)

(ax+1)(a-x+1)

=0
∴函数f（x）为奇函数  
 （2）∵f（x）=

ax-1

ax+1

=1-

2

ax+1

   （a＞1）
设t=a^x，则t＞0，y=1-

2

t+1

的值域为（-1，1）
∴该函数的值域为（-1，1）
（3）证明：法一：∵f′（x）=

2axlna

(ax+1)2

＞0
∴f（x）是R上的增函数
法二：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
则f（x₁）-f（x₂）=

ax1-1

ax1+1

-

ax2-1

ax2+1

=

2(ax1-ax2)

(ax1+1)(ax2+1)

∵x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
∴ax1-ax2＜0，ax1+1＞0，ax2+1＞0，
∴

2(ax1-ax2)

(ax1+1)(ax2+1)

＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是R上的增函数

点评：本题考察了函数奇偶性的定义和判断方法，求函数值域的方法和证明函数单调性的方法，解题时要准确把握基本概念，熟练的运用转化化归思想解题