题目内容
已知函数f（x）=lnx，g（x）=2x-2．（1）试判断F（x）=（x2+1）f（x）-g（x）在[1，+∞）上的单调性；
（2）当0＜a＜b时，求证函数f（x）（a≤x≤b）的值域的长度大于
| 2a(b-a) | a2+b2 |
分析：（1）先得到F（x）=（x2+1）f（x）-g（x）=（x2+1）lnx-（2x-2），由于不是基本函数，所以用导数法证明其单调性．
（2）本题即证明不等式即为lnb-lna＞
成立，由（1）知当x＞1时，F（x）＞F（1），又F（1）=0，可知F（x）＞0即（x2+1）lnx-（2x-2）＞0，变形可得lnx＞
，令x=
构造不等式即可．
（2）本题即证明不等式即为lnb-lna＞
| 2ab-2a2 |
| a2+b2 |
| 2x-2 |
| x2+1 |
| b |
| a |
解答：解：（1）∵F（x）=（x2+1）f（x）-g（x）=（x2+1）lnx-（2x-2），（1分）
∴F′(x)=2xlnx+(x2+1)•
-2=2xlnx+
，（3分）
∴x＞1时F'（x）＞0，x=1时F'（x）=0；
∴函数F（x）在[1，+∞）上为增函数．（5分）
（2）由（1）知当x＞1时，F（x）＞F（1），又F（1）=0，
∴F（x）＞0；（7分）
即（x2+1）lnx-（2x-2）＞0，
∴lnx＞
（﹡）（9分）
令x=
，
∵0＜a＜b，
∴
＞1，（11分）
∴由（﹡）式得ln
＞
，
即为lnb-lna＞
；（13分）
∵函数f（x）=lnx（a≤x≤b）的值域为[lna，lnb]，
∴函数f（x）（a≤x≤b）的值域的长度为lnb-lna，（15分）
∴函数f（x）（a≤x≤b）的值域的长度大于
．（16分）
∴F′(x)=2xlnx+(x2+1)•
| 1 |
| x |
| (x-1)2 |
| x |
∴x＞1时F'（x）＞0，x=1时F'（x）=0；
∴函数F（x）在[1，+∞）上为增函数．（5分）
（2）由（1）知当x＞1时，F（x）＞F（1），又F（1）=0，
∴F（x）＞0；（7分）
即（x2+1）lnx-（2x-2）＞0，
∴lnx＞
| 2x-2 |
| x2+1 |
令x=
| b |
| a |
∵0＜a＜b，
∴
| b |
| a |
∴由（﹡）式得ln
| b |
| a |
2•
| ||
(
|
即为lnb-lna＞
| 2ab-2a2 |
| a2+b2 |
∵函数f（x）=lnx（a≤x≤b）的值域为[lna，lnb]，
∴函数f（x）（a≤x≤b）的值域的长度为lnb-lna，（15分）
∴函数f（x）（a≤x≤b）的值域的长度大于
| 2a(b-a) |
| a2+b2 |
点评：本题主要考查函数的单调性的证明及应用，同时，还考查了构造和转化思想，属于难题．
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