Question

（2013•德州一模）已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形∠BCD=60°，AB=PB=PD=2，PC=

3

，AC与BD交于O点，H为OC的中点．
（1）求证PH⊥平面ABCD；
（2）求侧面PAB与底面ABCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由题意，可先证PH与平面ABCD中的两条相交直线垂直，再由定理得出线面垂直；
（2）由题设，可建立以O为原点，OA，OB，OZ所在直线为x，y，z轴建立空间坐标系，求出两个平面的法向量，运用空间向量的夹角公式求出两个平面的夹角余弦值．

解答：解：（1）证明：连接OP，因为PB=PD，
所以OP⊥BD．
在菱形ABCD中，BD⊥AC，
又因为OP∩AC=O，所以BD⊥平面PAC．
又PH?平面PAC，所以BD⊥PH．
在直角三角形POB中，OB=1，PB=2，所以OP=

3

，又PC=

3

，H为OC的中点，所以PH⊥OC
又因为BD∩OC=O，以PH⊥平面ABCD．
（2）解：过点O作OZ∥PH，所以OZ⊥平面ABCD
如图，以O为原点，OA，OB，OZ所在直线为x，y，z轴建立空间坐标系，可得A（

3

，0，0），B（0，1，0），C（-

3

，0，0），P（-

3

2

，0，

3

2

）
所以

AB

=（-

3

，1，0），

AP

=（-

3 3

2

，0，

3

2

）
设

n

=（x，y，z）是平面PAB的法向量，则

n • AB =0  n • AP =0

，即

- 3 x+y=0 - 3 3 2 x+ 3 2 z=0

令x=1，则平面PAB的一个法向量为

n

=（1，

3

，

3

）
由（1）知，PH⊥平面ABCD，所以平面ABCD的法向量是

m

=（0，0，1）
所以cos＜

m

，

n

＞=

3

7

=

21

7

所以侧面PAB与底面ABCD所成的二面角的余弦值为

21

7

点评：本题考查线面垂直的证明与二面角的求法，熟练掌握线面垂直的定理及用空间向量求二面角的原理是解答的关键，利用空间向量研究二面角是高考考查的重点，学习时应注意梳理此方法求二面角的过程，明了其解答原理