Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n+2n=2a_n
（1）证明：数列{a_n+2}是等比数列．并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+2），设T_n是数列{

bn

an+2

}的前n项和．求证：Tn＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）由S_n+2n=2a_n，知S_n=2a_n-2n．当n=1 时，S₁=2a₁-2，则a₁=2，当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1），故a_n=2a_n-1+2，由此能够证明数列{a_n+2}是等比数列．并能求出数列{a_n}的通项公式a_n．
（2）由b_n=log₂（a_n+2）=log22n+1=n+1，得

bn

an+2

=

n+1

2n+1

，故Tn=

2

22

+

3

23

+…+

n+1

2n+1

，由此利用错位相减法能够求出T_n，并证明Tn＜

3

2

．

解答：证明：（1）由S_n+2n=2a_n得 S_n=2a_n-2n
当n∈N^*时，S_n=2a_n-2n，①
当n=1 时，S₁=2a₁-2，则a₁=2，
则当n≥2，n∈N^*时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）．②
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1-2，
即a_n=2a_n-1+2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2）
∴

an+2

an-1+2

=2，
∴{a_n+2}是以a₁+2为首项，以2为公比的等比数列．
∴a_n+2=4•2^n-1，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2．
（2）证明：由b_n=log₂（a_n+2）=log22n+1=n+1，
得

bn

an+2

=

n+1

2n+1

，
则Tn=

2

22

+

3

23

+…+

n+1

2n+1

，③

1

2

Tn=

2

23

 +

3

24

+…+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

  ④
③-④，得

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

4

+

1 4 (1- 1 2 n )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

1

4

+

1

2

-

1

2 n+1

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

n+3

2n+2

，
所以 Tn=

3

2

-

n+3

2n+1

＜

3

2

．

点评：本题考查等比数列的证明和求数列{a_n}的通项公式a_n，Tn＜

3

2

．解题时要认真审题，注意构造法和错位相减法的合理运用．