题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2， $数学公式$ ．从{a_n}中抽出部分项 $数学公式$ ，（k₁＜k₂＜…＜k_n＜…）组成的数列 $数学公式$ 是等比数列，设该等比数列的公比为q，其中 $数学公式$ ．
（1）求a₂的值；
（2）当q取最小时，求{k_n}的通项公式；
（3）求k₁+k₂+…+k_n的值．

解：（1）令n=1得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
又a₁=2，∴ $\text{[math]}$ ．
（2）当n≥2时，由 $\text{[math]}$ ?na_n+1-（n-1）a_n=a_n+ $\text{[math]}$ n $\text{[math]}$ ，由（1）可知： $\text{[math]}$ ．
∴?n∈N^*，都有 $\text{[math]}$ ．
∴数列{a_n}是以2为首项， $\text{[math]}$ 为公差的等差数列，∴ $\text{[math]}$ ．
解法一：数列{a_n}是正项递增等差数列，故数列 $\text{[math]}$ 的公比q＞1，
若k₂=2，则由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$ ，所以k₂＞2，同理k₂＞3；
若k₂=4，则由a₄=4得q=2，此时 $\text{[math]}$ 组成等比数列，
∴ $\text{[math]}$ ，3•2^n-1=m+2，对任何正整数n，只要取m=3•2^n-1-2，即 $\text{[math]}$ 是数列{a_n}的第3•2^n-1-2项．最小的公比q=2．
∴ $\text{[math]}$ ．
解法二：数列{a_n}是正项递增等差数列，故数列 $\text{[math]}$ 的公比q＞1，
设存在 $\text{[math]}$ （k₁＜k₂＜…＜k_n＜…）组成的数列 $\text{[math]}$ 是等比数列，
则 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
∵k₂、k₃∈N*且k₂＞1所以k₂+2必有因数3，即可设k₂+2=3t，t≥2，t∈N，
当数列 $\text{[math]}$ 的公比q最小时，即k₂=4，?q=2最小的公比q=2．∴ $\text{[math]}$ ．
（3）由（2）可得从{a_n}中抽出部分项 $\text{[math]}$ （k₁＜k₂＜…＜k_n＜…）组成的数列 $\text{[math]}$ 是等比数列，其中k₁=1，
那么 $\text{[math]}$ 的公比是 $\text{[math]}$ ，其中由解法二可得k₂=3t-2，t≥2，t∈N．
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，t≥2，t∈N
所以 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由已知：a₁=2， $\text{[math]}$ ．令n=1即可得出；
（2）当n≥2时，由 $\text{[math]}$ ?na_n+1-（n-1）a_n=a_n+ $\text{[math]}$ n $\text{[math]}$ ，（n=1时也成立）即可得出通项a_n．
解法一：数列{a_n}是正项递增等差数列，故数列 $\text{[math]}$ 的公比q＞1，由k₂=2，3，经验证不符合题意，应舍去；若k₂=4，则由a₄=4得q=2，此时 $\text{[math]}$ 组成等比数列，可求出k_n；
解法二：设存在 $\text{[math]}$ （k₁＜k₂＜…＜k_n＜…）组成的数列 $\text{[math]}$ 是等比数列，则 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 即可得出k_n．
（3）利用（2）求出的k_n，利用等比数列的前n项和公式即可得出．
点评：熟练掌握数列的通项与前n项和公式S_n之间的关系 $\text{[math]}$ ，等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式事件他的关键．