Question

经过点，倾斜角为的直线，与曲线：（为参数）相交于两点．

（1）写出直线的参数方程，并求当时弦的长；

（2）当恰为的中点时，求直线的方程；

（3）当时，求直线的方程；

（4）当变化时，求弦的中点的轨迹方程．

Answer 1

(1);(2);(3)或

（4）

【解析】

试题分析：(1)将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程；掌握常见的将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程;(2)解决直线和曲线的综合问题：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与曲线的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.（4）根据题意设点根据点到直线的距离公式.

试题解析：解：（1）的参数方程（为参数）．            1分

曲线化为：，将直线参数方程的代入，得           

 

∵恒成立，                      3分

∴方程必有相异两实根，且，．

∴

∴当时，．                        5分

（2）由为中点，可知，

∴，

故直线的方程为．                       7分

（3）∵，得

∴,

∴或

故直线的方程为或                 9分

（4）∵中点对应参数

∴（ 参数 ），消去，得

弦的中点的轨迹方程为；

轨迹是以为圆心，为半径的圆．                   10分

考点：（1）求弦长问题；（2）求直线方程；（3）中点弦的轨迹方程.