Question

已知数列{a_n}是首项a₁=a，公差为2的等差数列，数列{b_n}满足2b_n=（n+1）a_n；
（1）若a₁、a₃、a₄成等比数列，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若对任意n∈N^*都有b_n≥b₅成立，求实数a的取值范围；
（3）数列{c_n}满足 cn+1-cn=(

1

2

)n(n∈N*)，其中c₁=1，f（n）=b_n+c_n，当a=-20时，求f（n）的最小值（n∈N^*）．

Answer 1

（1）因为a₁、a₃、a₄成等比数列，所以a₁•a₄=a₃²，即a•（a+6）=（a+4）²，a=-8．
所以a_n=-8+（n-1）×2=2n-10…（4分）
（2）由2b_n=（n+1）a_n，bn=n2+

a

2

n+

a-2

2

=(n+

a

4

)2-(

a-4

4

)2，…（6分）
由题意得：

9

2

≤-

a

4

≤

11

2

，-22≤a≤-18…（10分）
（3）因为cn+1-cn=(

1

2

)n，
所以c_n=c₁+（c₂-c₁）+（c₃-c₂）+…+（c_n-c_n-1）=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-2+(

1

2

)n-1=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-

1

2n-1

…（13分）
所以f（n）=b_n+c_n=n2+

a

2

n+

a-2

2

+2-(

1

2

)n-1，
则f(n+1)=(n+1)2+

a

2

(n+1)+

a-2

2

+2-(

1

2

)n-1，f(n+1)-f(n)=[(n+1)2+

a

2

(n+1)+

a-2

2

+2-(

1

2

)n]-[n2+

a

2

n+

a-2

2

+2-(

1

2

)n-1]=2n+1+(

1

2

)n-10=2n+(

1

2

)n-9…（14分）
所以当k＞10时，f(n+1)-f(n)=2n+(

1

2

)n-9＞0
即f（5）＜f（6）＜…＜f（n）＜…（15分）
所以当1≤n≤4时，f(n+1)-f(n)=2n+(

1

2

)n-9＜8+

1

2

-9＜0
即f（1）＞f（2）＞f（3）＞f（4）…（16分）
f(n)=n2+

a

2

n+

a-2

2

+2-(

1

2

)n-1=n2-10n-9-(

1

2

)n-1
所以 f（5）-f（4）＜0，所以f(n)min=f(5)=-

545

16

…（18分）