Question

已知：sin²30°+sin²90°+sin²150°=

3

2

sin²5°+sin²65°+sin²125°=

3

2

sin²12°+sin²72°+sin²132°=

3

2

通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给予的证明．

Answer 1

分析：通过所给的等式归纳出一般形式，利用二倍角的余弦公式将等式的左边降幂求出左边的值，即得到证明．

解答：解：一般形式：sin²α+sin²（α+60°）+sin²（α+120°）=

3

2

…（4分）
证明    左边=

1-cos2α

2

+

1-cos(2α+120°)

2

+

1-cos(2α+240°)

2

…（7分）
=

3

2

-

1

2

[cos2α+cos(2α+120°)+cos(2α+240°)]
=

3

2

-

1

2

[cos2α+cos2αcos120°-sin2αsin120°+cos2cos240°-sin2αsin240°]…（11分）
=

3

2

-

1

2

[cos2α-

1

2

cos2α-

3

2

sin2α-

1

2

cos2α+

3

2

sin2α]…（13分）
=

3

2

=右边
∴原式得证…（14分）
（将一般形式写成 sin²（α-60°）+sin²α+sin²（α+60°）=

3

2

，sin²（α-240°）+sin²（α-120°）+sin²α=

3

2

等均正确，其证明过程可参照给分．）

点评：本题考查通过归纳推理猜想结论；考查利用二倍角的余弦公式将三角函数式进行降幂，属于基础题．