Question

已知平面直角坐标系内有三点A（sinx，1），B（cosx，2a），C（a，1），x∈[-

π

4

， 

3π

4

]，若函数f(x)=

AC

•

BC

的最大值为g（a），求函数g（a）的最小值．

Answer 1

分析：先根据A，B，C的坐标表示出函数f（x）的解析式，进而设出sinx+cosx=t，用t表示出函数的解析式，根据三角函数的性质求得t的范围，进而对a进而分类讨论，分别看当a≤

2

2

和a＞

2

2

时，根据二次函数的性质求得函数f（x）的最大值g（a），进而根据g（a）的解析式求得函数g（a）的最小值．

解答：解：f(x)=

AC

•

BC

=(a-sinx，0)•(a-cosx，1-2a)=（a-sinx）•（a-cosx）=sinxcosx-a（sinx+cosx）+a²
令sinx+cosx=t，则sinxcosx=

t2-1

2

∴y=f(x)=

t2-2at+2a2-1

2

=

(t-a)2+a2-1

2

∵x∈[-

π

4

， 

3π

4

]
∴t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)∈[0，

2

]
当a≤

2

2

时，ymax=

2 2-2a 2 +2a2-1

2

=(a-

2

2

)2
当a＞

2

2

时，ymax=

2a2-1

2

=a2-

1

2

∴g(a)=

(a- 2 2 )2    a≤ 2 2 a2- 1 2          a＞ 2 2

当a≤

2

2

时，[g(a)]min=g(

2

2

)=0，
当a＞

2

2

时，g（a）＞0
∴[g（a）]_min=0

点评：本题主要考查了三角函数的最值问题，数量积的坐标表达式以及两角和与差的正弦函数等．考查了学生函数思想，分类讨论思想和基本的运算能力．