Question

设集合A={1，2，3，…，n}，若B≠∅且B⊆A，记G（B）为B中元素的最大值与最小值之和，则对所有的B，G（B）的平均值=

 

．

Answer 1

分析：集合A有n个元素，满足条件的集合B有2ⁿ-1个，G（B）为B中元素的最大值与最小值之和，列举出n=1，2，3，…，然后找规律可求出所求．

解答：解：当A={1}时，B={1}，G（B）=1+1=2，所有的B，G（B）的平均值为

2

1

=2，
当A={1，2}时，B={1}，G（B）=1+1=2，B={2}，G（B）=2+2=4，B={1，2}，G（B）=1+2=3，所有的B，G（B）的平均值为

2+3+4

3

=3，
当A={1，2，3}时，B={1}，G（B）=1+1=2，B={2}，G（B）=2+2=4，B={3}，G（B）=3+3=6，
B={1，2}，G（B）=1+2=3，B={1，3}，G（B）=1+3=4，B={2，3}，G（B）=2+3=5，B={1，2，3}，G（B）=1+3=4，
所有的B，G（B）的平均值为

2+4+6+3+4+5+4

7

=4，
依此类推…
集合A={1，2，3，…，n}，非空子集有2ⁿ-1个，所有的B，G（B）的平均值为n+1．
故答案为：n+1．

点评：本题考查的知识点是集合的子集，其中正确理解G（B）的意义是解答的关键．解决新定义的题，关键是理解透新定义，新定义题型是近几年高考常考的题，要重视．