Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n满足Sn=

n2

n2-1

Sn-1+

n

n+1

，且a1=

1

2

，n∈N*
（I）试求出S₁，S₂，S₃的值；
（Ⅱ）根据S₁，S₂，S₃的值猜想出S_n关于n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）由题设可得求得S₁，S₂，S₃ 的值，猜测Sn=

n2

n+1

（Ⅱ）利用数学归纳法加验证n=1时猜想成立，然后假设n=k时猜想成立，证明n=k+1时猜想也成立．

解答：解：S₁=a₁=

1

2

，
S₂=

4

3

S₁+

2

3

=

4

3

，
S₃=

9

8

S₂+

3

4

=

9

4

（Ⅱ）由（I）猜想Sn=

n2

n+1

①当n=1时，左边=S₁=a₁=

1

2

，右边=

12

1+1

=

1

2

，等式成立．
②假设n=k时等式成立，即Sk=

k2

k+1

则当n=k+1时，左边=Sk+1=

(k+1)2

(k+1)2-1

Sk+

k+1

k+2

=

(k+1)2

(k+1)2-1

•

k2

k+1

+

k+1

k+2

=

(k+1)2

k+2

即当n=k+1时，等式成立．
由①②可知，当时对任意正整数n都成立．

点评：本题的考点是数学归纳法，主要考查已知数列的递推关系式，求出数列的前几项，猜想通项公式，利用数学归纳法证明猜想成立，注意数学归纳法证明时，必须用上假设．证明当n=k+1时，猜想也成立，是解题的难点和关键．