Question

在△ABC中，角A、B、C的边长分别为a、b、c，S为△ABC的面积．
（Ⅰ）若4S=a²+b²-c²，求角C；
（Ⅱ）若4

3

S=a2+b2+c2，试判断△ABC的形状．

Answer 1

（Ⅰ）由余弦定理得：a²+b²-c²=2abcosC，且S=

1

2

absinC，
∴4S=a²+b²-c²=2abcosC=4×

1

2

absinC，即tanC=1，
∵C为三角形的内角，
∴C=

π

4

；
（Ⅱ）由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，4

3

S=a²+b²+c²，
∴4

3

S=4

3

×

1

2

absinC=a²+b²+a²+b²-2abcosC，即

3

absinC+abcosC=a²+b²，
∴2absin（C+

π

6

）=a²+b²≥2ab，即sin（C+

π

6

）≥1，
∴sin（C+

π

6

）=1，
∵C+

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

），∴C+

π

6

=

π

2

，即C=

π

3

，
将C=

π

3

代入得：2ab=a²+b²，即a=b，
则△ABC为等边三角形．