Question

已知数列{a_n}是由正数组成的等差数列，S_n是其前n项的和，并且a₃=5，a₄•S₂=28．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}的通项b_n=|a_n-23|（n∈N*），求数列{b_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出等差数列的等差为d，根据等差数列的性质，利用a₃=5，a₄•S₂=28求出d及表示出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）把a_n的通项代入到b_n=|a_n-23|中得到b_n的通项公式，讨论n的值，化简绝对值得到b_n的通项公式为分段的，分别根据等差数列的求和公式求出之和即可．

解答：解：（Ⅰ）a₄•S₂=（a₃-2d+a₃-d）•（a₃-d）=（10-3d）•（5+d）=28
∴3d²+5d-22=0∴d=2或d=-

11

3

（舍去）
∵a_n＞0∴d＞0．∴a_n=a₃+（n-3）d=5+2n-6=2n-1．
（Ⅱ）b_n=|a_n-23|=|2n-24|=

(24-2n(n≤12)) (2n-24(n≥13)

①当n≤12时，b_n=24-2n，
∴T_n=

(n(22+24-2n))

2

=23n-n²；
②当n≥13时，∴T_n=22+20++2+0+2+4+…+（2n-24）
=[-22-20--2+0+2+…+（2n-24）]+2（22+20+…+2）
=n²-23n+2•12•11=n²-23n+264
∴T_n=

(23n-n2(n≤12)) ((n2-23n+264)(n≥13)

点评：考查学生灵活运用等差数列性质的能力，会求等差数列的通项公式，会利用等差数列的求和公式分情况求数列的前n项和．