Question

如图，△ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3（百米），底AB的长为4（百米）．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S₁和S₂．
（1）若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；
（2）求

S1

S2

的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据题意可知F不在BC上，根据余弦定理求出cosA的值，然后根据余弦定理求出EF的长即可；
（2）若E、F分别在AC和AB上，设AE=x，AF=y，然后利用三角形的面积公式求出S₂和S₁=S_三角形ABC-S₂=，再根据基本不等式求出比值的最值即可，若E、F分别在AC和BC上，设CE=x，CF=y，同上根据基本不等式求出比值的最值即可．

解答：解：（1）因为：AE=CE=

3

2

  AE+4＞CE+3   所以F不在BC上，
AE+AF+EF=CE+CB+FB+EF
所以AE=CE  AF=CB+BF  4-BF=BF+3  BF=

1

2

cosA=

AC2+AB2-BC2

2AC×AB

=

2

3

所以EF²=AE²+AF²-2AE×AF×cosA=

15

2

所以EF=

30

2

E为AC中点时，此时小路的长度为

30

2

（2）若E、F分别在AC和AB上，
sinA=

5

3

设AE=x，AF=y，
所以S₂=

1

2

xysinA=

5 xy

6

 
S₁=S_三角形ABC-S₂=2

5

-S₂
因为x+y=3-x+4-y+3
所以x+y=5

S1

S2

=

2 5 -S2

5 xy 6

≥

48

25

-1
xy≤(

x+y

2

)2 =

25

4

当且仅当x=y=

5

2

时取等号
所以

S1

S2

=

23

25

当且仅当x=y=

5

2

时取等号
最小值是

23

25

若E、F分别在AC和BC上，

c

sinC

=

a

sinA

   sinC=

4 5

9

设CE=x，CF=y
同上可得

S1

S2

≥

11

25

当且仅当x=y=

5

2

取等号
若E、F分别在AC和BC上，最小值是

11

25

点评：本题主要考查了解三角形的实际应用，以及利用基本不等式求最值问题，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．