Question

设数列{an}满足a1=2，am+an+am-n=

1

2

(a2m+a2n)+m-n，其中m，n∈N，m≥n，数列{b_n}满足：b_n=a_n+1-a_n．
（I）求a₀，a₂；
（II）当n∈N^*时，求证：数列{b_n}为等差数列；
（III）设cn=

2n-2(bn-2)

n

(n∈N*)，令Sn=c1+c2+…+cn，求证：

n

2

-

1

3

＜

S1

S2

+

S2

S3

+…+

Sn

sn+1

＜

n

2

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（I）根据数列递推式，利用赋值法，可得结论；
（II）根据数列递推式，令m=n+2，进而可得a_n+2=2a_n+1-a_n+2，由此可证数列{b_n}为等差数列；
（III）确定数列的通项，求出数列的和，再进行放缩，即可证得结论．

解答：（I）解：∵am+an+am-n=

1

2

(a2m+a2n)+m-n
∴令m=n，可得a₀=0；令n=0，可得a_2m=4a_m-2m
令m=1，可得a₂=4a₁-2=6；
（II）证明：令m=n+2，则a2n+2+an+a2-2=

1

2

(a2n+4+a2n)
∵a_2m=4a_m-2m
∴a_2n+1=4a_n+1-2（n+1），a_2n+4=4a_n+2-2（n+2），a_2n=4a_n-2n
∴a_n+2=2a_n+1-a_n+2
∴（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2
∵b_n=a_n+1-a_n，
∴b_n+1-b_n=2
∴数列{b_n}为首项为a₂-a₁=4，公差为2的等差数列；
（III）证明：由（II）知b_n=2n+2
∴cn=

2n-2(bn-2)

n

=2^n-1
∴Sn=c1+c2+…+cn=2n-1
∴

Sn

Sn+1

=

2n-1

2n+1-1

＜

2n+1-1

2(2n+1-1)

=

1

2

∴

S1

S2

+

S2

S3

+…+

Sn

Sn+1

＜

n

2

又∵

Sn

Sn+1

=

2n-1

2n+1-1

=

1

2

-

1

4×2n-2

≥

1

2

-

1

3

×

1

2n

∴

S1

S2

+

S2

S3

+…+

Sn

Sn+1

≥

n

2

-

1

3

(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)=

n

2

-

1

3

（1-

1

2n

）＞

n

2

-

1

3

∴

n

2

-

1

3

＜

S1

S2

+

S2

S3

+…+

Sn

Sn+1

＜

n

2

(n∈N*)

点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，正确确定数列的通项，利用放缩法是解题的关键．