题目内容
某地区原森林木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区森林木材存量
（1）计算a1，a2，a3的值；
（2）由（1）的结果，推测an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论；
（3）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于
a，如果b=
a，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（取lg2≈0.30）
（1）计算a1，a2，a3的值；
（2）由（1）的结果，推测an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论；
（3）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于
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分析：（1）依题意，可求得a1=
a-b，同理可求得a2=(
)2a-（
+1）b，a3=(
)3a-[(
)2+
+1]b；
（2）由（1）可推测an=(
)na-[(
)n-1+(
)n-2+…+
+1]b=(
)na-4[(
)n-1]b（n∈N*），利用数学归纳法证明即可；
（3）依题意知，(
)na-4[(
)n-1]×
a＜
a⇒(
)n＞5，两边取对数即可求得n的近似值．
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（2）由（1）可推测an=(
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（3）依题意知，(
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解答：解：（1）a1=a（1+
）-b=
a-b，
a2=
a1-b=
（
a-b）-b=(
)2a-（
+1）b，
a3=
a2-b=(
)3a-[(
)2+
+1]b，
（2）由（1）可推测
an=(
)na-[(
)n-1+(
)n-2+…+
+1]b
=(
)na-4[(
)n-1]b（n∈N*）．
证明如下：①当n=1时，a1=a（1+
）-b=
a-b，已证推测成立．
②假设n=k时，ak=(
)ka-4[(
)k-1]b（k∈N*）成立，
则当n=k+1时，
ak+1=
ak-b=
{(
)ka-4[(
)k-1]b}-b
=(
)k+1a-4[(
)k+1-1]b，
故当n=k+1时，推测也成立．
由①②知，对n∈N*推测成立．
（3）当b=
a时，若该地区今后发生水土流失，则森林木材存量必须少于
a，
∴(
)na-4[(
)n-1]×
a＜
a，
即(
)n＞5．
两边取对数得：nlg
＞lg5，n＞
=
≈7，
∴经过8年后该地区就开始水土流失．
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a2=
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a3=
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（2）由（1）可推测
an=(
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=(
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证明如下：①当n=1时，a1=a（1+
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②假设n=k时，ak=(
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则当n=k+1时，
ak+1=
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=(
| 5 |
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| 4 |
故当n=k+1时，推测也成立．
由①②知，对n∈N*推测成立．
（3）当b=
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∴(
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| 7 |
| 9 |
即(
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两边取对数得：nlg
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| lg5 |
| lg5-2lg2 |
| 1-lg2 |
| 1-3lg2 |
∴经过8年后该地区就开始水土流失．
点评：本题考查等差数列与等比数列的求和，突出考查数学归纳法的应用，属于难题．
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