Question

已知点P在双曲线x²-y²=a²（a＞0）的右支上，A₁，A₂分别是双曲线的左、右顶点，且∠A₂PA₁=2∠PA₁A₂，则∠PA₁A₂=

 

．

Answer 1

分析：由题意设∠PA₁A₂=α，则∠PA₂X=3α．利用坐标表示出PA₁的斜率，PA₂的斜率，借助于双曲线的方程得出斜率之积为1，从而可求．

解答：解：设∠PA₁A₂=α，则∠PA₂X=3α．设P（x，y），A₁（-a，0），A₂（a，0）．

PA₁的斜率 k₁=tanα=

y

x+a

，PA₂的斜率 k₂=tan3α=

y

x-a

∵k₁k₂=

y

x+a

×

y

x-a

=

y2

x2-a2

  =1，∴tanαtan3α=1，∴tan3α=cotα=tan（

π

2

-α）．

∵?3α是锐角，必有 3α=

π

2

-α，∴?α=

π

8

．
故答案为

π

8

．

点评：本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，解题时利用双曲线的方程得出斜率之积为1是关键．