Question

（2014•兰州一模）设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），直线l：x=a²交x轴于点A，且

AF1

=2

AF2

．
（1）试求椭圆的方程；
（2）过F₁、F₂分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形DMEN面积的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意，|F₁F₂|=2c=2，A（a²，0），利用

AF1

=2

AF2

，可得F₂为AF₁的中点，从而可得椭圆方程；
（2）分类讨论：当直线DE（或MN）与x轴垂直时，四边形DMEN的面积S=

|DE||MN|

2

=4；当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE：y=k（x+1），代入消去y，求出|DE|，|MN|，从而可得四边形的面积的表达式，利用换元法，即可求得结论．

解答：解：（1）由题意，|F₁F₂|=2c=2，A（a²，0）
∵

AF1

=2

AF2

∴F₂为AF₁的中点
∴a²=3，b²=2
∴椭圆方程为

x2

3

+

y2

2

=1…（5分） 
（2）当直线DE与x轴垂直时，|DE|=

2b2

a

=

4

3

，此时|MN|=2a=2

3

，四边形DMEN的面积S=

|DE||MN|

2

=4．
同理当MN与x轴垂直时，四边形DMEN的面积S=

|DE||MN|

2

=4．
当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE：y=k（x+1），代入椭圆方程，消去y得：（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0
设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则x₁+x₂=

-6k2

2+3k2

，x₁x₂=

3k2-6

2+3k2

所以，|x₁-x₂|=

4 3 × k2+1

2+3k2

，所以|DE|=

k2+1

|x₁-x₂|=

4 3 (k2+1)

2+3k2

，
同理|MN|=

4 3 ( 1 k2 +1)

2+ 3 k2

                 …（9分）
所以四边形的面积S=

|DE||MN|

2

=

1

2

×

4 3 (k2+1)

2+3k2

×

4 3 ( 1 k2 +1)

2+ 3 k2

=

24(k2+ 1 k2 +2)

6(k2+ 1 k2 )+13

令u=k2+

1

k2

，则S=4-

4

13+6u

因为u=k2+

1

k2

≥2，当k=±1时，u=2，S=

96

25

，且S是以u为自变量的增函数，所以

96

25

≤S＜4．
综上可知，

96

25

≤S≤4．
故四边形DMEN面积的最大值为4，最小值为

96

25

．…（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查四边形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，考查韦达定理的运用，正确求弦长是关键．