题目内容

已知函数f（x）=
sinx
x
，对于下列三个命题：①f（x）是偶函数；②f（x）＜1；③当x=
3
2
π 时，f（x）取得极小值．其中真命题的序号为（　　）
分析：对于①，考察证明f（-x）与f（x）的关系得证；对于②针对函数f（x）=
sinx
x
的性质，只须考虑当0＜x＜
π
2
时的函数值即可，再利用单位圆中的三角函数线，通过面积关系证明sinx＜x．对于③，利用商的导数运算法则及基本初等函数的导数公式，求出函数的导数，然后根据导函数的符号确定函数的单调性即可得到结论．
解答：解：函数f（x）=
sinx
x
的定义域为x≠0，
当x≠0时，f（-x）=
sin(-x)
-x
=
-sinx
-x
=
sinx
x
=f（x），
∴f（x）是偶函数；①正确；
对于②，针对函数f（x）=
sinx
x
的性质，只须考虑当0＜x＜
π
2
时的函数值即可，
精英家教网如图，在单位圆中，有sinx=MA，
连接AN，则S△OAN＜S扇形OAN，
设
AN
的长为l，则x=
1
r
=l，
∴
1
2
ON•MA＜
1
2
ON•x，即MA＜x，
又sinx=MA，
∴sinx＜x，∴f（x）=
sinx
x
＜1，
而由该函数是偶函数，可知②正确；
f′（x）=
(sinx)′x-sinx•x′
x2
=
xcosx-sinx
x2

令
xcosx-sinx
x2
=0得xcosx-sinx=0，
即tanx=x，但当x=
3
2
π时，不满足tanx=x，
故当x=
3
2
π时，f（x）取不到极小值，故③错．
综上可得真命题的序号为①②，
故选A．
点评：本小题主要考查利用导数研究函数的极值、函数单调性、函数奇偶性、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=ax+bsinx，当x=
π
3
时，取得极小值
π
3
-
3
．
（1）求a，b的值；
（2）对任意x1，x2∈[-
π
3
，
π
3
]，不等式f（x1）-f（x2）≤m恒成立，试求实数m的取值范围；
（3）设直线l：y=g（x），曲线S：y=F（x），若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x∈R都有g（x）≥F（x），则称直线l与曲线S的“上夹线”．观察下图：

根据上图，试推测曲线S：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程，并作适当的说明．
已知函数f（x）=x2-blnx在（1，2]是增函数，g（x）=x-b
x
在（0，1）为减函数．
（1）求b的值；
（2）设函数φ（x）=2ax-
1
x2
是区间（0，1]上的增函数，且对于（0，1]内的任意两个变量s、t，f（s）≥?（t）恒成立，求实数a的取值范围．
已知函数f（x）=cos（ 2x+
π
3
）+sin2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足2
AC
•
CB
=
2
ab，c=2
2
，f（A）=
1
2
-
3
4
，求△ABC的面积S．
（1）已知矩阵A=
a2
1b
有一个属于特征值1的特征向量
α
=
2
-1
，
①求矩阵A；
②已知矩阵B=
1-1
01
，点O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩阵AB的对应变换作用下所得到的△O'M'N'的面积．
（2）已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
x=t-3
y=
3
 t
（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρco sθ+3=0．
①求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；
②设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的取值范围．
（3）已知函数f（x）=|x-1|+|x+1|．
①求不等式f（x）≥3的解集；
②若关于x的不等式f（x）≥a2-a在R上恒成立，求实数a的取值范围．
已知函数f（x）=
a
2x
+xlnx，g（x）=x3-x2-x-1．
（1）如果存在x，x∈[0，2]，使得g（x）-g（x）≥M，求满足该不等式的最大整数M；
（2）如果对任意的s，t∈[
1
3
，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

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