Question

设各项均为实数的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₁₀=10，S₃₀=70，则S₄₀等于（　　）

• A、150
• B、-200
• C、150或-200
• D、400或-50

Answer 1

分析：根据等比数列的前n项和的公式化简S₁₀=10，S₃₀=70，分别得到关于q的两个关系式，两者相除即可求出公比q的10次方的值，然后利用等比数列的前n项和的公式表示S₄₀比S₁₀的值，把q的10次方的值代入即可求出比值，根据比值即可得到S₄₀的值．

解答：解：根据等比数列的前n项和的公式化简S₁₀=10，S₃₀=70得：
S₁₀=

a(1-q10)

1-q

=10，S₃₀=

a(1-q30)

1-q

=70，
则

S30

S10

=

1-q30

1-q10

=

(1-q10)(1+q10+q20)

1-q10

=7，得到1+q¹⁰+q²⁰=7，
即（q¹⁰）²+q¹⁰-6=0，解得q¹⁰=-3（舍去），q¹⁰=2，
则

S40

S10

=

a(1-q40) 1-q

a(1-q10) 1-q

=

1-(q10)4

1-q10

=

1-24

1-2

=15，
所以S₄₀=15S₁₀=150．
故选A

点评：此题考查学生灵活运用等比数列的前n项和的公式化简求值，是一道综合题．