Question

已知一直线l经过原点且与曲线y=x³-3x²+2x相切，试求直线l的方程．

Answer 1

分析：设切点为（x₀，y₀），则y₀=x₀³-3x₀²+2x₀，由于直线l经过原点，故等式的两边同除以x₀即得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点x₀处的切线斜率，便可建立关于x₀的方程．在两边同除以x₀时，要注意对x₀是否为0进行讨论．

解答：解：设直线l：y=kx．∵y′=3x²-6x+2，∴y′|_x=0=2，
又∵直线与曲线均过原点，于是直线y=kx与曲线y=x³-3x²+2相切于原点时，k=2．
若直线与曲线切于点（x₀，y₀）（x₀≠0），则k=

y0

x0

，∵y₀=x₀³-3x₀²+2x₀，
∴

y0

x0

=x₀²-3x₀+2，
又∵k=y′|_x=x0=3x₀²-6x₀+2，
∴x₀²-3x₀+2=3x₀²-6x₀+2，∴2x₀²-3x₀=0，
∵x₀≠0，∴x₀=

3

2

，∴k=x₀²-3x₀+2=-

1

4

，
故直线l的方程为y=2x或y=-

1

4

x．

点评：本题主要考查了导数的运算，以及直线方程和切线问题，属于基础题．