Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AD，E、F分别是棱PD、BC的中点．
（1）求证：AE⊥PC；
（2）求直线PF与平面PAC所成的角的正切值．

Answer 1

分析：方法一：（1）利用线面垂直的性质与判定，证明AE⊥平面PDC即可；
（2）过点F作FH⊥AC于点H，连接PH，可得∠FPH为直线PF与平面PAC所成的角；
方法二：（1）建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，证明

AE

•

PC

=0即可；
（2）证明BD⊥平面PAC，确定平面PAC的法向量

BD

=（-1，1，0），

PF

=(1，

1

2

，-1)，利用向量的夹角公式，即可求得结论．

解答：（方法一）（1）证明：因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥DC
因为底面ABCD是正方形，所以AD⊥DC
因为AD∩PA=A，所以DC⊥平面PAD，
因为AE?平面PAD，所以AE⊥DC，（3分）
又因为PA=AD，点E是棱PD的中点，所以AE⊥PD，
因为PD∩DC=D，所以AE⊥平面PDC，
因为PC?平面PDC，所以AE⊥PC．（7分）
（2）解：过点F作FH⊥AC于点H，连接PH，由F是棱BC的中点，底面是正方形可得FH∥BD，FH=

1

4

BD，
又由PA⊥底面ABCD得到PA⊥FH，
因为AD∩PA=A，所以FH⊥平面PAC，
所以∠FPH为直线PF与平面PAC所成的角，（10分）
设AD=1，得到FH=

2

4

，
在RT△PAH中，PH=

34

4

，tan∠FPH=

FH

PH

=

17

17

．（14分）
（方法二）（1）证明：以A为原点，分别以

AB

，

AD

，

AP

的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
设PA=AD=1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），（2分）
∵点E、F分别是棱PD、BC的中点，
∴E(0，

1

2

，

1

2

)，F(1，

1

2

，0)，

AE

=(0，

1

2

，

1

2

)，

PC

=(1，1，-1)（4分）
∴

AE

•

PC

=0，∴AE⊥PC．（6分）
（2）解：由PA⊥底面ABCD得到PA⊥BD，AC⊥BD，
∵AD∩PA=A，∴BD⊥平面PAC
取平面PAC的法向量

BD

=（-1，1，0），（10分）设直线PF与平面PAC所成的角θ，则

PF

=(1，

1

2

，-1)
∴sinθ=|cos＜

BD

，

PF

＞|=|

BD • PF

| BD |• |PF|

|=

2

6

，∴cosθ=

34

6

，（13分）
故tanθ=

17

17

．（14分）

点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查利用行向量的方法解决立体几何问题，属于中档题．