Question

（本小题满分14分）

设函数.

（Ⅰ）设，求函数的单调区间；

（Ⅱ）已知使得试研究时函数的零点个数.

Answer 1

解：（Ⅰ）的定义域为

---------------------1分

① 当时，恒成立，的递增区间为----------3分

② 当时，

的递减区间为递增区间为------------------6分

（Ⅱ）时，由（Ⅰ）知，的递减区间为递增区间为

------------7分

① 当，即时，有恒成立，

   为上的增函数，

又

使得，

为上的增函数，为的唯一的零点. -----------9分

② 当时，

由条件提供的命题：“使得” 为真命题，

即，使得

所以，使得

在区间上为减函数，

又

使得

在区间上为增函数，ks*5*u

所以，的递增区间为和递减区间为------------11分

在上为递减函数，

恒成立. ks*5*u --------------12分

在区间上，函数有且只有一个零点. ----------------13分

综上，时，函数有且只有一个零点. -------------------14分