Question

已知等比数列{a_n}满足a₃-a₁=3，a₁+a₂=3．
（ I）求数列{a_n}的通项公式；
（ II）若bn=an2+1，求数列{b_n}的前n项和公式．

Answer 1

分析：（I）设等比数列{a_n}的公比为q，由a₃-a₁=3，a₁+a₂=3．可得

a1q2-a1=3 a1+a1q=3

，即可解得；
（II）由（ I）可得bn=an2+1=4n-1+1，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：（ I）设等比数列{a_n}的公比为q，
由a₃-a₁=3得a1(q2-1)=3，
由a₁+a₂=3得a₁（1+q）=3，（*）（q≠-1），
两式作比可得q-1=1，∴q=2，
把q=2代入解得a₁=1，
∴an=2n-1．
（ II）由（ I）可得bn=an2+1=4n-1+1，
可知数列{4^n-1}是公比为4的等比数列，
由等比数列求和公式可得Sn=

1-4n

1-4

+n=

1

3

(4n-1)+n．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及前n项和公式，属于基础题．