题目内容

在平面直角坐标系xOy中，若直线y=kx+1与曲线y=|x+ $数学公式$ |-|x- $数学公式$ |有四个公共点，则实数k的取值范围是________．

{- $\text{[math]}$ }
分析：令t=x- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，通过分类讨论，去掉绝对值符号，得到分段函数表达式，作出其图象即可得到答案．
解答：t=x- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
①若x＜-1，t＜0，y=|x+ $\text{[math]}$ |-|x- $\text{[math]}$ |=（-x- $\text{[math]}$ ）-（ $\text{[math]}$ -x）=- $\text{[math]}$ ；
②若-1＜x＜0，t＞0，y=|x+ $\text{[math]}$ |-|x- $\text{[math]}$ |=（-x- $\text{[math]}$ ）-（x- $\text{[math]}$ ）=-2x；
③若0＜x＜1，t＜0，则y=|x+ $\text{[math]}$ |-|x- $\text{[math]}$ |=（x+ $\text{[math]}$ ）-（ $\text{[math]}$ -x）=2x；
④若x＞1即 t＞0，则曲线y=|x+ $\text{[math]}$ |-|x- $\text{[math]}$ |=（x+ $\text{[math]}$ ）-（x- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
∴y= $\text{[math]}$ ，作图如右：

由于直线y=kx+1经过定点A（0，1），当过A点的直线m与曲线y=- $\text{[math]}$ 相切时，直线m与曲线y=|x+ $\text{[math]}$ |-|x- $\text{[math]}$ |有四个公共点，
设切点坐标为：（x₀，y₀），则k=（- $\text{[math]}$ ）′ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴y₀=- $\text{[math]}$ =kx₀+1= $\text{[math]}$ •x₀+1，解得；x₀=-4，
∴k= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
同理，可得当直线n与曲线y= $\text{[math]}$ 相切时，直线n与曲线y=|x+ $\text{[math]}$ |-|x- $\text{[math]}$ |有四个公共点，可求得直线n的斜率为k′=- $\text{[math]}$ ；
当过A点的直线l∥x轴，即其斜率为0时，直线l与曲线y=|x+ $\text{[math]}$ |-|x- $\text{[math]}$ |有四个公共点；
综上所述，实数k的取值范围是{ $\text{[math]}$ ，0，- $\text{[math]}$ }．
故答案为：{ $\text{[math]}$ ，0，- $\text{[math]}$ }．
点评：本题考查带绝对值的函数，关键在于去绝对值符号，难点在于分类讨论去绝对值符号，考查作图能力，属于难题．