Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e的取值范围．

Answer 1

分析：根据双曲线的定义和焦半径公式求得  x₀=

a(1+e)

e2-e

，由x₀≥a，得到e²-2e-1≤0，解不等式求出离心率
e 的范围．

解答：解：设M（x₀，y₀）是双曲线右支上满足条件的点，且它到右焦点F₂的距离等于它到左准线的距离|MN|，
即|MF₂|=|MN|，再由双曲线定义可知  

|MF1|

|MN|

=e∴

|MF1|

|MF2|

=e，
由焦点半径公式得 

ex0+a

ex0-a

=e∴x0=

a(1+e)

e2-e

，
而  x0≥a  ∴

a(1+e)

e2-e

≥a，即  e²-2e-1≤0，解得1-

2

≤e≤

2

+1，
但 e＞1 ∴1＜e≤

2

+1，即离心率e的取值范围是（1，

2

+1]．

点评：本题考查双曲线的定义、标准方程以及双曲线的简单性质的应用，得到 x₀=

a(1+e)

e2-e

，是解题的关键，
属于中档题．